[[Set theory MOC]]
# Axiomatic set theory

**Axiomatic set theory** grew in response to [[Russell's paradox]],
which showed that the intuitive notions underlying naïve set theory were flawed, in particular the [[General Comprehension Principle]].

> Unter diesen Umständen bleibt gegenwärtig nichts anderes übrig,
> als den umgekehrten Weg einzuschlagen und, ausgehend von der historisch bestehenden „Mengenlehre“,
> die Prinzipien aufsuchen, welche zur Begründung dieser mathematischen Disziplin erforderlich sind.
> Diese Aufgabe muss in der Weise gelöst werden,
> dass man die Prinzipien einmal eng genug einschränkt, um alle Widersprüche auszuschließen,
> gleichzeitig aber auch weit genug ausdehnt,
> um alles Wertvolle dieser Lehre beizubehalten.[^1908]

  [^1908]: 1908\. [[Sources/@zermeloUntersuchungenUeberGrundlagen1908|Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I]]

[[Ernst Zermelo]] sought to find axioms that were both self-consistent and powerful enough to yield important results from naïve set theory,
and his axioms form the basis of [[ZFC]], the most commonly used set theory as a [[Foundation of mathematics]].

## Axiomatic set theories

There are two main approaches to axiomatic set theory:
Those based on Substance, and those based on Form.

- [[Material set theory]]
  - [[ZF]]
  - [[ZFC]]
  - [[NBG]]
  - [[TG]]
  - [[NFU]]
  - [[ML (set theory)]]
- [[Structural set theory]]
  - [[ETCS]]

All of these are formulated in [[1st-order logic]], refer to [[Conventions of 1st-order logic in these notes]].

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